Desarrollo

Sea E un espacio victorial  sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía decentro C y de razón k, denotada  envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afin de la forma:

(1b)

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: ,  y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Una homotecia generalizada en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un 'grupo' y que lastraslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

FIGURAS HOMOTÉTICAS

.....!

Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.

Homotecias de centro el origen de coordenadas

En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky

Teorema de Tales. Semejanza de polígonos

Teorema de Tales

Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En el ejemplo de la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza

ESCALAS

La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.
Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.
Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:

E = dibujo / realidad

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario.

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una 
escala.

   Véase, por ejemplo, el caso para E 3:5

1º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y

s formando un ángulo cualquiera.

2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala

(5 en este caso) y sobre la recta s el numerador

(3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.

3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB.

Efecto del dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, el área y volumen

para conocer el efecto que produce el dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, se analizará lo que ocurre cuando se amplía un rectángulo de dimensiones a y b hasta obtener un rectángulo de dimensiones ka y kb.

    

Obsérvese la relación que se establece entre el perímetro P del rectángulo original y el perímetro P´ del rectángulo ampliado:

  P = 2a + 2b

y que P´ = 2(ka) + 2(kb)

     Factorizando k, se obtiene:

P´ = k(2a + 2b)

     Sustituyendo P´ = 2a + 2b, se llega a P´ = kP.

     El perímetro P se transformó igual que la base y la altura del rectángulo.

     A continuación se verá si ocurre lo mismo con las áreas.

A = ab A´ = (ka) + (kb) A´ = k2ab A´ = k2(A)

     Si las longitudes se transforman con una escala k, entonces el área se transforma con una escala k2.

     Véase lo que ocurre con la longitud de una circunferencia y con el área de un círculo:

     Supóngase que el radio del círculo se transformó con una escala de k <1.

     Si se comparan las dos medidas de las circunferencias, se tiene que:

     La longitud de la circunferencia se transformó con una escala igual que la de la modificación del radio.

     Para las áreas se tiene:

     Nuevamente se observa que la razón o escala de las áreas es el cuadrado de la escala con la que se transforman las longitudes.

     Resumen:

• Efecto de las medidas angulares. Siempre que dos figuras o dos sólidos estén a escala, existe semejanza entre ellos; debiendo cumplirse la condición de tener sus ángulos homólogos iguales, pues la medida de un ángulo no la determina la longitud de los lados que lo forman, sino la abertura que hay entre dichos lados; además, sus lados homólogos son proporcionales.

• Efecto en las medidas lineales y perímetros. Dos polígonos a escala son semejantes y cumplen, necesariamente, con dos condiciones: tener sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

• Efecto de las áreas. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la escala dada.

• Efecto en los volúmenes. La razón de los volúmenes de dos sólidos semejantes es igual al cubo de la escala dada.

MEDIA PROPORCIONAL

O media geométrica es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4.

TEOREMA

La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Sea la proporción continua 
vamos a demostrar que 

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que ac=bb, o sea, ac=b2.

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos: 

Y simplificando: 
que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En 
tenemos que 
.

Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta. Así, en la proporción 8:16::5:10, cualquiera de estos cuatro términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.

EJEMPLO.

Hallar una cuarta proporcional de 20, 1/3 y 2/5.

Se forma una proporción geométrica con estas tres cantidades, poniendo de último extremo x y se despeja el valor de x: 20:1/3::2/5:x.

  

FIGURAS HOMOTÉTICAS

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.

En la figura de a lado, las líneas de s1, es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.

Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.